١٤ أغسطس ٢٠١٧ العمليات الحسابية الا ساسية مع الا شع ة ٢ ٥

ح اب الا شع ة (ال هات) ١٤ أغسطس ٢٠١٧ ال ات ٢ الا شع ة ١ ٣ العمليات الحسابية الا ساسية مع الا شع ة ٢ ٥ هندسة الا شع ة ٣ ٩ الضرب التقاطعي - Product) (eng. Cross ٤ ١

١ الا شع ة يمكننا تخي ل الا عداد الحقيقية R كمستقيم أعداد لا اي ي الطول حيث تكون الا عداد مرتبة بشكل متسلسل. يمكننا أيضا الرمز لا ي نقطة على المستقيم برقم والتنقل على المستقيم بجمع أو طرح أي عدد حقيقي. - 3 + π 4-3- - - 0 3 4 شكل ١: مستقيم الا عداد الحقيقية R هكذا يمكننا عن طريق الا عداد الحقيقية وصف نقاط وخطوط اتجاه في بعد ما. لكن كيف يمكننا رسم النقاط وخطوط الا تجاه في مستوي أو في الفراغ ثلاثي الا بعاد من أجل ذلك نحتاج إلى إحداثيات أكثر. تعريف ١.١ شعاع ذو البعد n هو عبارة عن صف من n رقم حقيقي نقوم بتمثيله غالبا على الشكل: x x x R n, x =, x, x,..., x n R. x n x = x x R, x = x x x 3 R3 نحصل من أجل = n و = 3 n على: ملاحظة ١.٢ يمكننا تصو ر الا شع ة على أ ا أسهم ذات إتجاه وطول ( اي ي) معي نين. لنزو د مثلا المستوي بنظام إحداثي ات ديكارتي وليكن x R شعاعا ثناي ي a = x عندها يشير الشعاع x على النقطة (b,a) عندما تكون بدايته من المركز 0. b الا بعاد x يدعى أيضا شعاع توجيه Vector) (eng. Position للنقطة (b,a). إزاحة السهم في المستوي لا يغير الشعاع الذي يمث له: ٢

x b x (a, b) a x = b a نعتبر أن سهمين يمث لان نفس الشعاع إذا كان لهما نفس الطول والا تجاه حتى أ ما حينها يعتبران شعاع التوجيه لنفس النقطة. بشكل مشابه تنطبق هذه الا فكار على شعاع x R 3 في الفضاء ثلاثي الا بعاد. ٢ الع ل ات ال اب ة الا ساس ة مع الا شع ة كما ذكر يمكننا التنقل على مستقيم الا عداد ستخدام عملية الجمع مع الا عداد الحقيقية. الا ن سنقوم بتعريف عملي تي الجمع والضرب القياسي Product) (eng. Scalar للا شع ة التي تمكننا من تركيب ومط /تقليص الا شع ة. تعريف ٢.١ ليكن لدينا الشعاعين x y المعر فين في λ R R n عدد حقيقي. نطلق على العملي تين λ x x + y الجمع والضرب القياسي للا شع ة: x y x + y λx x y x + y x + y = + :=... x n + y n x n y n λx und λ x :=.. λx n λ x x + y v v x y w w v v شكل ٢: الجمع والضرب القياسي للا شع ة في المستوي ملاحظة ٢.٢ كما نرى في الشكل ٢ تمثل عملية جمع الا شع ة وضع أحد الشعاعين على مقدمة ( اية) الشعاع الا خر. لمثل يمكننا أيضا طرح الا شع ة من بعضها البعض ٣

وتقسيمها على عدد حقيقي. 0 يمث ل تج عملية الطرح بين شعاعين لهما نفس نقطة البداية سهما ينطلق من مقدمة أحدهما وينتهي في مقدمة الا خر. ضرب شعاع لعدد يعكسه أي أن الشعاع يحافظ على طوله ولكن يعكس إتجاهه. تنبيه! لن نقوم حاليا بتعريف عملية ضرب الا شع ة حيث أن تج x y ليس شعاعا! أولا سنرى لاحقا كيف وفي أي حالة يمكن حساب الضرب القياسي للا شع ة. يمكننا بمساعدة مجموعة من الا شع ة وصف مستقيمات أو مستو ت في الفضاء ثناي ي أو ثلاثي الا بعاد. تعريف ٢.٣ لتكن,x y, z ثلاثة أشع ة في R. n عندها تعر ف ا موعة { x + λ y λ R } المستقيمات عبر x في الا تجاه y. بشكل مشابه تعر ف ا موعة { x + λ y + µ z λ, µ R } المستوي عبر x الممد د من قبل y و z. مثال ٢.٤ R. عندها يكون للمستقيم العابر للشعاع x في الا تجاه y الشكل التالي: = y في = x و لتكن x + λ y x ٤

٣ ه سة الا شع ة نريد الا ن تعريف طول الشعاع. سنقوم انطلاقا من نظرية فيثاغورث بتعريف طول شعاع في R. n تنص هذه النظرية على أن أطوال أضلاع المثلث قاي م الزاوية تحق ق العلاقة: a + b = c,,a,b c تمثل أطوال أضلاع المثلث c الوتر أي الضلع المقابل للزاوية القاي مة. نكتب الا ن شعاعا w R على الشكل التالي: x w = y = x 0 + 0 y = x + y, هكذا يمكننا تعريف طول الشعاع w على النحو x + y انظر الشكل ٣. w = x + y y شكل ٣: نظرية فيثاغورث تعطينا طول الشعاع w x هذا يوصلنا إلى تعريف عام لطول شعاع في R: n تعريف ٣.١ ليكن x R n شعاع مو لف من.x, x,..., x n عندها نعر ف طول هذا الشعاع x كالتالي: x = x + x + + x n. نطلق على x شعاع الوحدة Vector) (eng. Unit عندما يكون = x. عموما نحصل على شعاع الوحدة لشعاع y كالتالي. y = y y لتحديد الزاوية بين شعاعين أو لنستطيع تعريف هذه الزاوية في البداية نحتاج إلى منتج الضرب القياسي للشعاعين. ٥

تعريف ٣.٢ ليكن لدينا x y شعاعين في R n مو لفان من العناصر x, x,..., x n y, y,..., y n على التوالي. عندها نعر ف الضرب القياسي للشعاعين x و y كالتالي: x y := x y + x y + + x n y n R. وبشكل خاص يصح x. x x = تمكننا عملية الضرب القياسي من ضرب شعاعين ولكن الناتج عندها لا يكون شعاعا جديدا إنما عددا صحيحا! بمساعدة الضرب القياسي يمكننا الا ن تحديد الزوا بين شعاعين. ملاحظة ٣.٣ ليكن لدينا x, x شعاعين في R n و α الزاوية بينهما (انظر الشكل ٤) عندها يصح: cos(α) = x x x x. في حالة كون = 0 x x يكون عندها = 0 cos(α) أي أن 90 =.α الشعاعين يكو ن حينها متعامدين. x α x شكل ٤: الشعاعين x و x يحصران الزاوية α بينهما. تعريف ٣.٤ نطلق على شعاعين x, x R n شعاعين متعامدين Orthogonal) (eng. عندما يتحق ق = 0 x x. نكتب أيضا حينها: x x. ٦

= ( ) + = 0 مثال ٣.٥ متعامدين لا ن و الشعاعين (,) محق قة. أي أن الشعاعين يحد ان زاوية 90 بينهما (زاوية قاي مة). (-,) مثال ٣.٦ v نريد هنا إيجاد شعاع وحدة 0 والذي يعامد الشعاع = x. نكتب لا جل ذلك v = v ونقوم لحساب لا يجاد التالي: v 3 0 = v v v 3 = v + v + v 3. = 0 3 v فيجب عندها حسب المعادلة في الا على أن يتحق ق.v = v نعين أيضا = v فنحصل على =.v عندها نعين = v الشعاع x. الا ن يجب علينا جعل v شعاع وحدة (هذا لا يو ث ر على تعامده مع الشعاع x ). لا جل ذلك نقوم بحساب يعامد مثلا الشعاع 0 طول الشعاع v : v = + ( ) + 0 = 5 5 5 0 والا ن يجب علينا بعدها تقسيم v على طوله فنحصل على: والذي يحق ق المطلوب بكونه شعاع وحدة يعامد الشعاع x. ٧

الضرب القياسي يحتوي على معلومات عن الموقع الهندسي للا شعة لنسبة لبعضها البعض. يمكننا على سبيل المثال بمساعدة الضرب القياسي تحديد بعد نقطة عن مستقيم ما. مثال ٣.٧ λ. R من أجل x 0 + λ v أي مجموعة الا شع ة التي يمكن كتابتها على الشكل v = x 0 في الا تجاه 0 = لنعاين المستقيم المار عبر = z عن هذا المستقيم. أي أننا نحتاج طول الشعاع x(λ) z هنا يكون x(λ) شعاع نريد اكتشاف كم تبعد النقطة P ذات شعاع التوجيه المستقيم المختار بحيث يتحق ق: z x(λ) v إذا تعامد الشعاعين لفعل يكون طول x(λ) z تماما أقصر طريق من النقطة P للمستقيم (انظر الشكل ٥). سنحسب إذا λ عن طريق معادلة الضرب القياسي التالية: 0 = ( z x(λ)) v = λ + λ = λ λ = λ λ = λ. = ()x شعاع المستقيم المطلوب. أخيرا نقوم بحساب طول الشعاع ()x z عن طريق: هذه العملية تعطينا = λ ولا جله يكون = =. تكون عندها المسافة بين النقطة P والمستقيم تعادل. x + λ y x 0 x(λ) z x(λ) P z شكل ٥: ب عد النقطة P عن المستقيم محددة لشعاع x(λ) z. ٨

٤ ال ب ال قا عي - Product) (eng. Cross اية نريد التعر ف على عملية خاصة بين الا شع ة ثلاثية الا بعاد ألا وهي الضرب التقاطعي. تعريف ٤.١ ليكن لدينا x y شعاعين في R 3 يحتو ن العناصر x, x, x 3 y, y, y 3 على التوالي. نعر ف عملية الضرب التقاطعي بينهما x y على التالي: x y 3 x 3 y x y = x 3 y x y 3. x y x y هندسيا يعر ف الضرب التقاطعي x y شعاعا عامود على المستوي الممتد بين الشعاعين x و y أي أنه = 0 ( x y) x و = 0.( x y) y طول الشعاع الناتج عن الضرب التقاطعي يساوي تماما مساحة متوازي الا ضلاع المحدد من قبل x و y. بشكل خاص يمكننا عن طريق حاصل الضرب التقاطعي لشعاع ما تكوين شعاع أخر يعامده. مثال ٤.٢ 3 = x شعاع في R. 3 عندها يكون على سبيل المثال ليكن 0 x 0 = 0 شعاعا عامود على x. ملاحظة ٤.٣ الضرب التقاطعي معر ف فقط من أجل الا شع ة في لرغم R. 3 من وجود تعميمات للضرب التقاطعي من أجل الا بعاد الا خرى ولكننا لن نتطرق لها هنا. ٩